mécanique de point matériel S1



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mécanique de point matériel  S1



La mécanique du point est l'étude du mouvement des points matériels. Alors que la cinématique permet d'étudier les relations entre les paramètres du mouvement (position, vitesse, accélération, etc.), la mécanique du point permet de prédire l'évolution de ces paramètres en connaissant les causes du mouvement. Celles-ci peuvent être les interactions de contact comme le frottement et la poussée, ou à distance comme l'attraction gravitationnelle et les interactions électromagnétiques. Toutes ces interactions sont modélisées par un objet physique unique : la force. Ainsi, en connaissant la force subie par le point matériel à tout moment, il est possible de prédire le mouvement.

SOMMAIRE


Chapitre I : Rappels et Compléments Mathématiques 
I. Notion de vecteurs 
I. 1. Définition 
I. 2. Vecteur lié 
I. 3. Vecteur glissant 
I. 4. Vecteur libre 
II. Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps
II.1. Repérage de l’espace du temps
II.2. Repérage de l’espace des positions 
II.3. Notion de base d’un repère d’espace 
II.4. Représentation d’un vecteur 
II.4.1. Dans le plan 
II.4.2. Dans l’espace
III. Opérations sur les vecteurs 
III.1. Addition 
III.2. Multiplication d’un vecteur par un scalaire 
III.3. Produit scalaire 
III.4. Produit vectoriel 
III.5. Double produit vectoriel 
III.6. Produit mixte 
IV. Fonction vectorielle 
IV.1. Cas d’une fonction à une seule variable 
IV.1.1. Définition 
IV.1.2. Dérivée totale par rapport à une variable 
IV.1.3. Propriétés de la dérivée 
IV.1.4. Différentielle totale 
IV.2. Cas d’une fonction à plusieurs variables 
IV.2.1. Dérivée partielle par rapport à une seule variable 
IV.2.2. Différentielle totale 
V. Equations différentielles 
V.1. Equations différentielles du 1er ordre 
V.2. Quelques types d’équations différentielles du 1er ordre 
V.2.1. Equations différentielles à variables séparées (ou séparables) 
V.2.2. Equations différentielles homogènes 
V.2.3. Equations différentielles linéaires 
V.3. Equations différentielles du 2ème ordre 
V.3.1. Procédures de résolution 
V.3.2. Recherche de la solution générale de l’équation sans second membre 
V.3.3. Recherche d’une solution particulière de l’équation avec second membre 
VI. Système de coordonnées 
VI.1. Système de coordonnées cartésiennes 
VI.2. Système de coordonnées cylindriques 
VI.3. Système de coordonnées sphériques 
VII. Vecteur déplacement élémentaire 
VIII. Eléments de surface et de volume 
IX. Opérateurs mathématiques 
IX.1. Opérateur gradient 
IX.2. Opérateur divergence 
IX.3. Opérateur rotationnel 
Chapitre II : Cinématique du Point Matériel 
I. Définitions 
I.1. Point matériel 
I.2. Trajectoire 
I.3. Dérivée temporelle d’un vecteur par rapport à un référentiel 
I.4. Vecteur vitesse instantané d’un point matériel
I.5. Vecteur accélération instantané d’un point matériel 
II. Composantes des vecteurs vitesse et accélération 
II.1. Expressions en coordonnées cartésiennes 
II.2. Expressions en coordonnées cylindriques 
II.3. Expressions en coordonnées sphériques 
II.4. Expressions en coordonnées curvilignes 
III. Exemple de mouvements simples 
III.1. Mouvement rectiligne 
III.2. Mouvement circulaire 
Chapitre III : Changement de référentiel 
I. Vecteur rotation instantané 
II. Composition des vitesses 
III. Composition des accélérations 
IV. Application : 
Chapitre IV : Dynamique du Point Matériel 
I. Masse et quantité de mouvement 
II. Lois de Newton 
II.1. 1ère loi de Newton : Principe d’inertie 
II.1.1 Particule isolée 
II.1.2. Enoncé de la 1ère loi de Newton 
II.1.3. Référentiel galiléen 
II.1.4. Référentiel non galiléen 
II.2. 2ème loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique (PFD) 
II.2.1. Enoncé de la 1ère loi de Newton 
II.2.2. Conséquences 
II.3. 3ème loi de Newton : Principe de l’action et de réaction 
II.4. Principe de l’invariance galiléenne 
II.5. Transformation de Galilée 
III. Classification des forces 
III.1. Forces réelles (ou extérieures) 
III.1.1. Force à distance 
III.1.2. Force de contact 
III.2. Forces d’inertie 
IV. Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen 
V. Equilibre d’un point matériel 
VI. Application du principe fondamental de la dynamique 
VI.1. Pendule conique 
VI.2. Pendule simple 
VI.3. Ressort horizontal 
VI.4. Calcul du poids 
Chapitre V : Théorèmes Généraux de la Dynamique du Point Matériel 
I. Théorème de la quantité de mouvement 
II. Théorème du moment cinétique
II. 1. Moment d’une force 
II.1.1. Moment d’une force par rapport à un point 
II.1.2. Moment d’une force par rapport à un axe 
II. 2. Moment cinétique 
II.2.1. Moment cinétique par rapport à un point 
II.2.2. Moment cinétique par rapport à un axe 
II. 3. Théorème du moment cinétique 
II. 3.1 Théorème du moment cinétique par rapport à un point
II. 3.2 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe 
II. 4. Application du théorème du moment cinétique 
III. Théorème de l’énergie cinétique 
III.1. Travail d’une force 
III.2. Puissance d’une force 
III.3. Energie cinétique 
III.4. Théorème de l’énergie cinétique 
IV. Théorème de l’énergie mécanique 
IV.1. Energie potentielle 
IV.1.1. Définition 
IV.1.2. Relation liant l’énergie potentielle et le travail d’une force 
IV.1.3. Energie potentielle d’un point M en chute libre 
IV.1.4. Energie potentielle d’une charge placée dans un champ électrostatique 
IV.1.5. Energie potentielle dérivée par la force de rappel d’un ressort 
IV.2. Energie mécanique 
IV.3. Conservation de l’énergie mécanique 
IV.4. Théorème de l’énergie mécanique 
V. Stabilité et conditions de stabilité d’un équilibre 
V.1. Equilibre 
V.2. Stabilité d’un équilibre 
V.3. Relations exprimant la stabilité d’un équilibre à partir de la force appliquée 
V.4. Relations exprimant la stabilité d’un équilibre à partir de l’énergie 
Chapitre VI : Applications 
I. Oscillateurs harmoniques
II. Mouvement à forces centrales 

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