je vous propose un résumé du cours de la mécanique du point matériel semestre 1
mécanique de point matériel S1
La mécanique du point est l'étude du mouvement des points matériels. Alors que la cinématique permet d'étudier les relations entre les paramètres du mouvement (position, vitesse, accélération, etc.), la mécanique du point permet de prédire l'évolution de ces paramètres en connaissant les causes du mouvement. Celles-ci peuvent être les interactions de contact comme le frottement et la poussée, ou à distance comme l'attraction gravitationnelle et les interactions électromagnétiques. Toutes ces interactions sont modélisées par un objet physique unique : la force. Ainsi, en connaissant la force subie par le point matériel à tout moment, il est possible de prédire le mouvement.
SOMMAIRE
Chapitre I : Rappels et Compléments Mathématiques
I. Notion de vecteurs
I. 1. Définition
I. 2. Vecteur lié
I. 3. Vecteur glissant
I. 4. Vecteur libre
II. Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps
II.1. Repérage de l’espace du temps
II.2. Repérage de l’espace des positions
II.3. Notion de base d’un repère d’espace
II.4. Représentation d’un vecteur
II.4.1. Dans le plan
II.4.2. Dans l’espace
III. Opérations sur les vecteurs
III.1. Addition
III.2. Multiplication d’un vecteur par un scalaire
III.3. Produit scalaire
III.4. Produit vectoriel
III.5. Double produit vectoriel
III.6. Produit mixte
IV. Fonction vectorielle
IV.1. Cas d’une fonction à une seule variable
IV.1.1. Définition
IV.1.2. Dérivée totale par rapport à une variable
IV.1.3. Propriétés de la dérivée
IV.1.4. Différentielle totale
IV.2. Cas d’une fonction à plusieurs variables
IV.2.1. Dérivée partielle par rapport à une seule variable
IV.2.2. Différentielle totale
V. Equations différentielles
V.1. Equations différentielles du 1er ordre
V.2. Quelques types d’équations différentielles du 1er ordre
V.2.1. Equations différentielles à variables séparées (ou séparables)
V.2.2. Equations différentielles homogènes
V.2.3. Equations différentielles linéaires
V.3. Equations différentielles du 2ème ordre
V.3.1. Procédures de résolution
V.3.2. Recherche de la solution générale de l’équation sans second membre
V.3.3. Recherche d’une solution particulière de l’équation avec second membre
VI. Système de coordonnées
VI.1. Système de coordonnées cartésiennes
VI.2. Système de coordonnées cylindriques
VI.3. Système de coordonnées sphériques
VII. Vecteur déplacement élémentaire
VIII. Eléments de surface et de volume
IX. Opérateurs mathématiques
IX.1. Opérateur gradient
IX.2. Opérateur divergence
IX.3. Opérateur rotationnel
Chapitre II : Cinématique du Point Matériel
I. Définitions
I.1. Point matériel
I.2. Trajectoire
I.3. Dérivée temporelle d’un vecteur par rapport à un référentiel
I.4. Vecteur vitesse instantané d’un point matériel
I.5. Vecteur accélération instantané d’un point matériel
II. Composantes des vecteurs vitesse et accélération
II.1. Expressions en coordonnées cartésiennes
II.2. Expressions en coordonnées cylindriques
II.3. Expressions en coordonnées sphériques
II.4. Expressions en coordonnées curvilignes
III. Exemple de mouvements simples
III.1. Mouvement rectiligne
III.2. Mouvement circulaire
Chapitre III : Changement de référentiel
I. Vecteur rotation instantané
II. Composition des vitesses
III. Composition des accélérations
IV. Application :
Chapitre IV : Dynamique du Point Matériel
I. Masse et quantité de mouvement
II. Lois de Newton
II.1. 1ère loi de Newton : Principe d’inertie
II.1.1 Particule isolée
II.1.2. Enoncé de la 1ère loi de Newton
II.1.3. Référentiel galiléen
II.1.4. Référentiel non galiléen
II.2. 2ème loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique (PFD)
II.2.1. Enoncé de la 1ère loi de Newton
II.2.2. Conséquences
II.3. 3ème loi de Newton : Principe de l’action et de réaction
II.4. Principe de l’invariance galiléenne
II.5. Transformation de Galilée
III. Classification des forces
III.1. Forces réelles (ou extérieures)
III.1.1. Force à distance
III.1.2. Force de contact
III.2. Forces d’inertie
IV. Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen
V. Equilibre d’un point matériel
VI. Application du principe fondamental de la dynamique
VI.1. Pendule conique
VI.2. Pendule simple
VI.3. Ressort horizontal
VI.4. Calcul du poids
Chapitre V : Théorèmes Généraux de la Dynamique du Point Matériel
I. Théorème de la quantité de mouvement
II. Théorème du moment cinétique
II. 1. Moment d’une force
II.1.1. Moment d’une force par rapport à un point
II.1.2. Moment d’une force par rapport à un axe
II. 2. Moment cinétique
II.2.1. Moment cinétique par rapport à un point
II.2.2. Moment cinétique par rapport à un axe
II. 3. Théorème du moment cinétique
II. 3.1 Théorème du moment cinétique par rapport à un point
II. 3.2 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe
II. 4. Application du théorème du moment cinétique
III. Théorème de l’énergie cinétique
III.1. Travail d’une force
III.2. Puissance d’une force
III.3. Energie cinétique
III.4. Théorème de l’énergie cinétique
IV. Théorème de l’énergie mécanique
IV.1. Energie potentielle
IV.1.1. Définition
IV.1.2. Relation liant l’énergie potentielle et le travail d’une force
IV.1.3. Energie potentielle d’un point M en chute libre
IV.1.4. Energie potentielle d’une charge placée dans un champ électrostatique
IV.1.5. Energie potentielle dérivée par la force de rappel d’un ressort
IV.2. Energie mécanique
IV.3. Conservation de l’énergie mécanique
IV.4. Théorème de l’énergie mécanique
V. Stabilité et conditions de stabilité d’un équilibre
V.1. Equilibre
V.2. Stabilité d’un équilibre
V.3. Relations exprimant la stabilité d’un équilibre à partir de la force appliquée
V.4. Relations exprimant la stabilité d’un équilibre à partir de l’énergie
Chapitre VI : Applications
I. Oscillateurs harmoniques
II. Mouvement à forces centrales
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